正则方程是在相空间研究系统运动，简单来说，一般所作函数图像为v-t图或者x-t图，而相空间指的是以v-x为变量来进行研究。特点是简单对称。

参考内容为卢圣治主编的《理论力学基本教程》

视频为中国大学MOOC上的理论力学课程

这一节的主要内容为：

正则方程
泊松括号
正则变换（略）

对于正则方程这一部分，我选择倒着来表述，这样你可能会觉得越来越简单。

你会有很高概率遇到Math Processing Error的错误

正则方程

也就是以下两条对称的方程：

$\dot{q}_{\alpha }=\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha } }$ $\dot{p}_{\alpha }=-\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha } }$

其中，$H$为哈密顿函数，$p{\alpha }$为广义动量，$q{\alpha }$为广义坐标。$\dot{q}$指对广义坐标时间求导，此处$\alpha$为广义坐标的数量。（从1到$s$）

正则方程写出来的时候，运动方程也得到了。

哈密顿函数

哈密顿函数是一个系统的特征函数，在特定情况下守恒，成为广义能量。

直接上式子：

$H=\sum _{\alpha =1}^s p_{\alpha }\dot{q}_{\alpha }-L$

其中，L为拉格朗日函数。

拉格朗日函数

这个其实是计算开始的起点。

$L=T-V$

$T$为系统的总动能，$V$为系统的总势能。

广义动量

$p_{\alpha }=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\alpha } }$

在通过这个公式计算广义动量时，广义动量的表达式中会出现广义坐标的导数$\dot{ q}_{\alpha }$。也能够因此表达出哈密顿函数。例如：

$T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$对广义坐标变化率$\dot{q}{\alpha }$在这里也就是$\dot{x}$求导，则得$p{\alpha }=m\dot{x}$,这里可以得$\dot{x}= \frac{p_{\alpha } }{m}$

在不同的问题中广义坐标的选取是不同的，广义动量与广义坐标是成对的。

到这里，实际上正则方程已经可以计算出来。

选取合适的广义坐标（$x，y，z$或是$\phi ，\theta$），写出系统动能势能，得出拉格朗日函数。
对$T$求导得出广义动量，反解出广义位移变化率。
得出哈密顿函数。
得到正则方程。

广义能量积分与广义动量积分

对哈密顿函数进行求导时，需要先将$H$化为$q{\alpha }$和$p{\alpha }$的函数。

广义能量积分

若：

$\frac{\partial H}{\partial t}=0$

则$H$为广义能量积分，守恒，为常量。

广义动量积分

若：

$\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha } }=0$

则$p_{\alpha }$为广义动量积分，守恒，为常量。

哈密顿函数写出后，其中是否有$t$与$q_{\alpha }$十分明显，通过这两个方式可以判断系统是否有守恒量。

泊松括号

一种运算规则，写起来和中括号一样。定义为：

$[\phi ,\psi ]=\sum _{\alpha =1}^s \left(\frac{\partial \phi }{\partial q_{\alpha } }\frac{\partial \psi }{\partial p_{\alpha } }-\frac{\partial \phi }{\partial p_{\alpha } }\frac{\partial \psi }{\partial q_{\alpha } }\right)$

泊松括号可以使正则方程格式显得简洁：

$\dot{q}_{\alpha }=\left[q_{\alpha },H\right]$ $\dot{p}_{\alpha }=\left[p_{\alpha },H\right]$

判断力学量是否守恒

由于有：

$\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial t}+[w,H]$

若$（11）$式右边为0，则$w$不随时变换，守恒。

因此广义动量$p_{\beta }$守恒可以写为：

$\frac{\partial p_{\beta } }{\partial t}+\left[p_{\beta },H\right]=0$

广义能量守恒可以写为：

$\frac{\partial H}{\partial t}+\left[H,H\right]=0$

其中$\left[H,H\right]$恒为0。

泊松定理

若$f,g$是守恒量，则$\left[f,g\right]$也是守恒量。

最后

没写多少但是要花两小时左右。看不懂挺正常，因为缺少例子，也没有推导过程。所以还是应该适合复习用吧…

（写这玩意儿花了两个小时，研究怎么显示公式又花了两小时..）