拉格朗日动力学

拉格朗日动力学相比牛顿力学更加注重整体，特别是对于约束较多的方程，求解会比运用牛顿定律更为方便。通过系统的自由度，选好广义坐标，列出拉格朗日方程，从而解决问题。（我写的更偏向于写公式，总结之类的。如果解释得不清楚，那就是我理解得不清楚从而选择跳过(｀・ω・´)）

参考内容为卢圣治主编的《理论力学基本教程》

参考视频为中国大学MOOC上的理论力学课程

这一节的主要内容为：

• 有势系的拉格朗日方程
• 广义动量积分和广义能量积分
• 一般形式的拉格朗日方程
• 多自由度系统在稳定平衡位置附近的小振动（略）
• 对称性和守恒律
• 广义势 带电粒子的拉格朗日方程 耗散函数（略）
• 相对论力学中的质点的拉格朗日函数（略）
• 拉格朗日方法的特点和意义（略）

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打字很累所以我会弄得很简单。。╮(╯_╰)╭ 写这玩意儿虽然也挺复习的，但是还是有点慢

首先要从一般形式提起。

拉格朗日方程

一般完整系形式

如下，$\alpha$从1取值至$s$，为广义坐标数量。

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\alpha }}-\frac{\partial T}{\partial q_{\alpha }}=Q_{\alpha }$$

$Q{\alpha }$为广义力，$q{\alpha }$为广义坐标，$\dot{q}_{\alpha }$为广义坐标的导数（或者叫广义速度），T为系统总动能。

有势力

这个概念是有必要提到的。

$$Q_{\alpha }=-\frac{\partial V}{\partial q_{\alpha }}$$

有势力是指物体做功仅与物体始末位置有关，与过程无关，当然与速度也无关。

拉格朗日函数

$$L=T-V$$

综合以上两点得到完整有势系的拉格朗日方程

完整有势系形式

由前三式得：

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha }}-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha }}=0$$

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广义动量积分和广义能量积分

广义动量积分

若：

$$\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha } }=0$$

则$p_{\alpha }$为广义动量积分，守恒，为常量。

广义能量积分

$H$为哈密顿函数：

$$H=\sum _{\alpha =1}^s p_{\alpha }\dot{q}_{\alpha }-L$$

若：

$$\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}=0$$

则$H$为广义能量积分，守恒，为常量。

$$H=T_2-T_0+V$$

与正则方程关系

正则方程是哈密顿表述，以哈密顿函数$H$为中心，$H$是$（q{\alpha }，p{\alpha }, t）$的函数。

而拉格朗日表述以拉格朗日函数$L$为中心，$L$是$（q{\alpha }，\dot{q}{\alpha }, t）$的函数。

区别在于动量与速度，广义动量意义比广义速度更大，通过勒让德变换由拉格朗日函数得到哈密顿函数。

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最后

就这些吧，懒得写了。玩了两次就暂时没啥热情了。(┐「ε:)