正则方程

​ 正则方程是在相空间研究系统运动,简单来说,一般所作函数图像为v-t图或者x-t图,而相空间指的是以v-x为变量来进行研究。特点是简单对称

​ 参考内容为卢圣治主编的《理论力学基本教程》

​ 视频为中国大学MOOC上的理论力学课程

这一节的主要内容为:

  • 正则方程

  • 泊松括号

  • 正则变换(略)

    对于正则方程这一部分,我选择倒着来表述,这样你可能会觉得越来越简单。

    (顺便一提,你会有很高概率遇到Math Processing Error的错误,特别是chrome浏览器,因为我遇到了..)


正则方程

也就是以下两条对称的方程:

​ 其中,$H$为哈密顿函数,$p_{\alpha }$为广义动量,$ q_{\alpha }$为广义坐标。$\dot{q}$指对广义坐标时间求导,此处$\alpha$为广义坐标的数量。(从1到$s$)

​ 正则方程写出来的时候,运动方程也得到了。

哈密顿函数

哈密顿函数是一个系统的特征函数,在特定情况下守恒,成为广义能量。

直接上式子:

其中,L为拉格朗日函数。

拉格朗日函数

这个其实是计算开始的起点。

$T$为系统的总动能,$V$为系统的总势能。

广义动量

​ 在通过这个公式计算广义动量时,广义动量的表达式中会出现广义坐标的导数$\dot{ q}_{\alpha }$。也能够因此表达出哈密顿函数。例如:

​ $T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$对广义坐标变化率$\dot{q}_{\alpha }$在这里也就是$\dot{x}$求导,则得$p_{\alpha }=m\dot{x}$,这里可以得$\dot{x}= \frac{p_{\alpha } }{m}$

在不同的问题中广义坐标的选取是不同的,广义动量与广义坐标是成对的。

​ 到这里,实际上正则方程已经可以计算出来。

  1. 选取合适的广义坐标($x,y,z$或是$\phi ,\theta$),写出系统动能势能,得出拉格朗日函数。
  2. 对$T$求导得出广义动量,反解出广义位移变化率。
  3. 得出哈密顿函数。
  4. 得到正则方程。

广义能量积分与广义动量积分

​ 对哈密顿函数进行求导时,需要先将$H$化为$ q_{\alpha }$和$p_{\alpha }$的函数。

广义能量积分

若:

则$H$为广义能量积分,守恒,为常量。

广义动量积分

若:

则$p_{\alpha }$为广义动量积分,守恒,为常量。

哈密顿函数写出后,其中是否有$t$与$q_{\alpha }$十分明显,通过这两个方式可以判断系统是否有守恒量。


泊松括号

​ 一种运算规则,写起来和中括号一样。定义为:

​ 泊松括号可以使正则方程格式显得简洁:

判断力学量是否守恒

由于有:

若$(11)$式右边为0,则$w$不随时变换,守恒。

因此广义动量$p_{\beta }$守恒可以写为:

广义能量守恒可以写为:

其中$\left[H,H\right]$恒为0。

泊松定理

​ 若$f,g$是守恒量,则$\left[f,g\right]$也是守恒量。


最后

​ 没写多少但是要花两小时左右。看不懂挺正常,因为缺少例子,也没有推导过程。所以还是应该适合复习用吧…

(写这玩意儿花了两个小时,研究怎么显示公式又花了两小时..)