拉格朗日动力学

拉格朗日动力学相比牛顿力学更加注重整体,特别是对于约束较多的方程,求解会比运用牛顿定律更为方便。通过系统的自由度,选好广义坐标,列出拉格朗日方程,从而解决问题。(我写的更偏向于写公式,总结之类的。如果解释得不清楚,那就是我理解得不清楚从而选择跳过(`・ω・´))

参考内容为卢圣治主编的《理论力学基本教程》

参考视频为中国大学MOOC上的理论力学课程

这一节的主要内容为:

  • 有势系的拉格朗日方程
  • 广义动量积分和广义能量积分
  • 一般形式的拉格朗日方程
  • 多自由度系统在稳定平衡位置附近的小振动(略)
  • 对称性和守恒律
  • 广义势 带电粒子的拉格朗日方程 耗散函数(略)
  • 相对论力学中的质点的拉格朗日函数(略)
  • 拉格朗日方法的特点和意义(略)

打字很累所以我会弄得很简单。。╮(╯_╰)╭ 写这玩意儿虽然也挺复习的,但是还是有点慢

首先要从一般形式提起。

拉格朗日方程

一般完整系形式

如下,$\alpha$从1取值至$s$,为广义坐标数量。

$Q_{\alpha }$为广义力,$Q_{\alpha }$为广义坐标,$\dot{q}_{\alpha }$为广义坐标的导数(或者叫广义速度),T为系统总动能。

有势力

这个概念是有必要提到的。

有势力是指物体做功仅与物体始末位置有关,与过程无关,当然与速度也无关。

拉格朗日函数

综合以上两点得到完整有势系的拉格朗日方程

完整有势系形式

由前三式得:


广义动量积分和广义能量积分

广义动量积分

若:

则$p_{\alpha }$为广义动量积分,守恒,为常量。

广义能量积分

$H$为哈密顿函数:

若:

则$H$为广义能量积分,守恒,为常量。

与正则方程关系

正则方程是哈密顿表述,以哈密顿函数$H$为中心,$H$是$(q_{\alpha },p_{\alpha }, t)$的函数。

而拉格朗日表述以拉格朗日函数$L$为中心,$L$是$(q_{\alpha },\dot{q}_{\alpha }, t)$的函数。

区别在于动量与速度,广义动量意义比广义速度更大,通过勒让德变换由拉格朗日函数得到哈密顿函数。


最后

就这些吧,懒得写了。玩了两次就暂时没啥热情了。_(┐「ε:)_